§9.1 Основные определения. Линейные преобразования и операции над ними

В предыдущей главе мы изучали функции в n-мерном линейном пространстве, принимающие численные значения (линейные функции, квадратичные и т. д.). Но в ряде случаев возникает потребность рассматривать функции другого типа, а именно, функции, которые точками пространства ставят в соответствие снова точки того же пространства (а не числа). Простейшими среди функций такого рода являются линейные преобразования.

Определение 1. Пусть каждому вектору $x$ n-мерного пространства поставлен в соответствие вектор $y$ этого же пространства. Функцию $y=A(x)$ мы назовем преобразованием пространства $R$.

Преобразование $A$ называется линейным, если выполнены следующие условия:
1° $$ A(x_1+x_2) = A(x_1) + A(x_2), $$
2° $$ A(\lambda x) = \lambda A(x). $$

Там, где это не сможет привести к недоразумениям, вместо $A(x) $ мы будем писать $Ax$.

Примеры. 1. Рассмотрим трехмерное евклидово пространство $R$ и в нем преобразование, состоящее в повороте $R$ вокруг какой-либо оси, проходящей через нуль. Каждому вектору $x$ ставится в соответствие вектор $Ax$, полученный из него данным поворотом. Условия 1° и 2° проверяются без труда. Проверим, например, условие 1°. $ A(x_1+x_2) $ означает, что векторы $x_1$ и $x_2$ сначала складываются, а затем полученный вектор поворачивается. $ A x_1+ A x_2$ означает, что векторы $ x_1$ и $x_2$ сперва поворачиваются, а затем складываются. Ясно, что в обоих случаях результат один и тот же.

2. Пусть $R'$ - некоторая плоскость в трехмерном пространстве $R$, проходящая через нуль. Поставим в соответствие каждому вектору $x$ его проекцию $ x' = Ax$ на эту плоскость. Условия 1° и 2° опять легко проверяются. Например, 1° означает, что проекции суммы равна сумме проекций.

3. Рассмотрим аффинное n-мерное пространство, в котором вектор определен как совокупность $n$ чисел.

Пусть $ || \alpha_{ik} || $ - некоторая матрица. Поставим в соответствие каждому вектору
$$ x= (\xi_1, \xi_2, ..., \xi_n) $$
вектор
$$ y= Ax= (\eta_1, \eta_2, ..., \eta_n), $$
где $ \eta_i$ вычисляются по формулам
$$ \eta_i = \sum_{k=1}^n \alpha_{ik} \xi_k. $$
Условия 1° и 2°, определяющие линейное программирование, проверяются без труда.

4. Рассмотрим n-мерное пространство, элементами которого являются многочлены степени $ \leqslant n-1$.

Положим
$$ AP(t) = P' (t), $$
где $ P'(t) - $ произволная многочлена $ P(t). $
Это преобразование - линейное. Действительно,
1° $$ (P_1(t) + P_2(t))' = P_1' (t) + P_2' (t), $$
2° $$ (\lambda P(t))' = \lambda P' (t). $*

5. Рассмотрим пространство, в котором векторами являются непрерывные функции $ f(t), 0 \leqslant t \leqslant 1. $ Положим
$$ Af(t) = \int\limits_0^t f(\gamma) d \gamma. $$
Преобразование $A$ - линейное. Действительно,
1° $$ A(f_1+f_2) = \int\limits_0^t [f_1 (\gamma) + f_2 (\gamma)] d \gamma = \\
== \int\limits_0^t f_1 (\gamma) d \gamma + \int\limits_0^t f_2 (\gamma) d \gamma = Af_1 + Af_2, $$
2° $$ A(\lambda f) = \int\limits_0^t \lamda f (\gamma) d \gamma = \lambda \int\limits_0^t f(\gamma) d \gamma = \lambda A f. $$

6. Рассмотрим то же пространство, что и в примере 5. Пусть $ k(t, s) $ - непрерывная функция, заданная в квадрате $ 0 \leqslant t \leqslant 1, 0 \leqslamt s \leqslant 1.$ Положим
$$ \phi (t) = A f (t) = \int\limits_0^1 k (t, s) f(s) da. $$
Проверьте сами, что это преобразование линейно.

Среди линейных преобразований особую роль играют следующие простые преобразования:

Единичное преобразование $E$, ставящее в соответствие каждому вектору этот же самый вектор, т. е,
$$ Ex= x.$$

Нулевое преобразование $O$, ставящее в соответствие каждому вектору $x$ нулевой вектор:
$$ Ox=0. $$