§9.5 Связь между матрицами линейного преобразования в различных базисах

Одно и то же линейное преобразование может в различных базисах иметь различные матрицы. Выясним, как изменяется матрица линейного преобразования $A$ при переходе от одного базиса к другому.

Пусть в $R$ даны два базиса: $e_1, e_2, ..., e_n$ и $f_1, f_2, ..., f_n$. Матрицу перехода от базиса $e_1, e_2, ...., e_n $ к базису $ f_1, f_2, ...., f_n $ обозначим через $C$, т. е. положим
$$
\left.\begin{aligned}
f_1=c_{11} e_1 + c_{21} e_2 + ... + c_{n1} e_n, \\
f_2=c_{12} e_2 + c_{22} e_2 + ... + c_{n2} e_n, \\
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . \\
f_n = c_{1n} e_1+c_{2n} e_2 + ... + c_{nn} e_n.
\end{aligned}\right\rbrace \qquad (10)
$$
Введем вспомогательное линейное преобразование $C$, положив
$$ Ce_i = f_i. $$
Его матрица в базисе $e_1, e_2, ..., e_n $ согласно формулам (2) и (3) п. 3 будет $C.$

Обозначим матрицу линейного преобразования $A$ в базисе $ e_1, e_2, ..., e_n$ через $A=||\alpha_{ik}||,$ а в базисе $f_1, f_2, ..., f_n $ через $B=||\beta_{ik}||.$ Иначе говоря,
$$ Ae_k = \sum_{i=1}^n e_{ik} e_i, \qquad \qquad (10') \\
Af_k = \sum_{i=1}^n b_{ik} f_i. \qquad \qquad (10'') $$
Наша цель - выразить матрицу $ B$ через матрицы $A$ и $C$. Заменим для этого в правой и левой частях формулы (10'') $f_k$ через $Ce_k$ и $f_i$ через $Ce_i.$ Мы будем иметь:
$$ ACe_k = \sum_{i=1}^n b_{ik} Ce. $$
Применим к обеим частям этого равенства преобразование $ C^{-1} $ (оно существует, так как векторы $f_1, f_2, ..., f_n $ линейно независимы). Мы получим:
$$ C^{-1} ACe_k = \sum_{i=1}^n b_{ik} e_i. $$
Мы видим, что интересующая нас матрица $||b_ik||$ есть также матрица преобразования $ C^{-1} AC$ в базисе $ e_1, e_2, ..., e_n $ базисе $ e_1, e_2, ..., e_n$ перемножаются. Поэтому
$$ B=C^{-1} AC. \qquad \qquad (11)$$
Матрицы $A$ и $B$, связанные соотношением (11), называются подобными.

Итак, матрица $B$ преобразования $A$ в базисе $ f_1, f_2, ...., f_n $ получается из матрицы $A$ преобразования $ A$ в базисе $ e_1, e_2, ..., e_n $ по формуле (11), где $C$ - матрица перехода от базиса $ e_1, e_2, ..., e_n $ к базису $f_1, f_2, ..., f_n$ (формула (10)).