§25.3 Размерность тензорного произведения $R \otimes R.$

Докажем, что $ R \otimes R$ - конечномерно пространство размерности $ n^2,$ где $n$ - размерность $ R.$

Зададим базис $e_1, ..., e_n$ в пространстве $R.$ Пусть $x, y$-произвольные векторы из $R;$ разложим их по векторам базиса:

$$ x = \xi_1 e_1 + ... + \xi_n e_n, y = \eta_1 e_1 + ... + \eta_n e_n.$$
Тогда
$$ x \otimes y = \sum_{i, j=1}^n \xi_i \eta_i (e_i, \otimes e_j).$$

Таким образом, $ x \otimes y$, а значит, и любой другой вектор из $ R \otimes R$ является линейной комбинацией $ n^2$ векторов $ e_i \otimes e_j.$

Убедимся, что векторы $ e_i \otimes e_j$ линейно независимы. Для этого воспользуемся следующей простой леммой, доказательство которой предоставляется читателю.

Лемма. Пусть $L$-линейное пространство и $ X_a (\alpha = 1, ..., N)$-векторы из $L.$ Если для каждого $ \alpha = 1, ... N$ существует линейная функция $ F_a (X)$ на $ L$ такая, что $ F_a (X_a) = 1$ и $ F_a (X_b) = 0$ при $ \beta ≠ \alpha,$ то векторы $ X_a$ линейно независимы.

Зададим для каждого $ i = 1, ..., n$ линейную функцию $ f_i (x)$ на $R$ такую, что $ f_i (e_i) = 1$ и $ f_i (e_j) = 0$ при $ j ≠ i.$. Так как векторы $ e_1, ..., e_n$ образуют базис в $R,$ то такая функция существует и единственна. Положим
$$ f_{ij} (x, y) = f_i (x) f_j (y), i, j = 1, ..., n.$$

Функция $ f_{ij} (x, y)$ является билинейной формой на $ R;$ значит, ей соответствует линейная функция $ F_{if} (X)$ на $ R \otimes R$ такая, что
$$ F_{ij} (x \otimes y) = f_i (x) f_j (y).$$

Убедимся, что эта линейная функция $ F_{ij} (X)$ равна 1 на $ e_i \otimes e_j$ и равна 0 на остальных векторах $ e_j' \otimes e_i'.$ В самом деле, $ F_{ij} (e_i', \otimes e_j') = f_i (e_i') f_j (e_j),$ и наше утверждение сразу следует из Определения функций $ f_i (x) $ и $ f_j (x).$

В силу леммы доказано, что векторы $ e_i \otimes e_j$ линейно независимы. Так как, с другой стороны, по ним раскладывается любой вектор в $ R \otimes R,$ то векторы $ e_i \otimes e_j$ образуют базис в $ R \otimes R.$ Таким образом, размерность $ R \otimes R$ равна числу векторов $ e_i \otimes e_j, $ т. е. равна $ n^2.$