§25.9 Внешняя степень $ Ʌ^m R$

Теперь дадим определение внешней степени $ Ʌ^m R$ пространства $ R$ произвольного $ m.$ Рассмотрим $m$- ю тензорную степень $ \otimes^m R.$ Напомним, что элементами пространства $ \otimes^m R$ являются формальные суммы выражений вида
$$ x_1 \otimes x_2 \otimes ... x_m, \qquad \qquad (8)$$
где $ x_i \in R,$ причем некоторые из таких сумм считаются равными между собой. Прировняем дополнительно нулю все выражения вида (8), у которых совпадают хотя бы два сомножителя, а также любые их линейные комбинации. То линейное пространство, которое при этом получается, называется внешней $ m$-й степенью пространства $ R$ и обозначает я через $ Ʌ^m R.$

Выражение $ x_1 \otimes x_2 \otimes ... \otimes x_m,$ рассматриваемое как элемент из $ Ʌ^m R,$ называется внешним произведением векторов $ x_1, ..., x_m$ и обозначается $ x_1 Ʌ x_2 Ʌ ... Ʌ x_m.$ Нетрудно убедиться (подобно тому, как это уже делалось для случая двух сомножителей), что внешнее произведение векторов антисимметрично, т. е. оно меняет знак при перестановке любых двух сомножителей.

Среди внешних степеней пространства $ R$ имеется лишь конечное число отличных от нуля. Именно покажем, что $Ʌ^m R=0$ при $ m > n,$ где $ n$ - размерность $ R.$ Для этого векторы из $ R$ по элементам базиса мы убеждаемся, что любое внешнее произведение $ x_1 Ʌ ... Ʌ x_m,$ а значит, и любой элемент из $ Ʌ^m R,$ является линейной комбинацией выражений $ e_i Ʌ ... Ʌ e_{im}.$ Но если $ m > n, $ то в каждом выражении $ e_i Ʌ ... Ʌ e_{im}$ совпадают хотя бы два сомножителя; значит, всегда $ e_i Ʌ ... Ʌ e_{im} = 0.$ Итак, $ Ʌ^m R = 0$ при $ m > n.$

Покажем также, что пространство $ Ʌ^n R,$ где $ n$-размерность $ R$, является одномерным пространством. В самом деле, среди элементов $ e_i Ʌ ... Ʌ e_{in}$ отличны от нуля только те, у которых индексы $ i_1, ..., i_n$ попарно различны и, значит, являются перестановками индексов $ 1, ..., n.$ Так как внешнее произведение векторов антисимметрично, что такие отличные от нуля элементы совпадают, с точностью до знака, с элементом $ e_1 Ʌ ... Ʌ e_n.$
Поскольку любой элемент из $ Ʌ^n R$ является линейной комбинацией векторов $ e_i Ʌ ... Ʌ e_{in},$ то тем самым он кратен вектору $ e_1 Ʌ ... Ʌ e_n.$

Упражнения. 1. Пусть $ e_1, ..., e_n$ - базис в $ R$ и $ e_i = \sum_{i=1}^n a_{ji} e_j$- любые $n$ векторов из $ R.$ Доказать, что $ e_1 Ʌ ... Ʌ e_n = ae_1 Ʌ ... Ʌ e_n,$ где $ a$- определитель матрицы $ || a_{if}||.$
2. Пусть $ e_1, ..., e_n$ - базис в $ R.$ Доказать, что выражения $ e_i Ʌ .... Ʌ e_{im},$ где $ i_1

Задача. Дать (по аналогии со случаем $ m = 2)$ определение $ m$ - й симметрической степени $ S^m (R)$ пространства $ R$ для любого $ m.$