Сопряжённое пространство линейных функционалов и линейность исходного пространства, на котором они заданы

Сопряжённое с данным пр-вом пространство есть совокупность непрерывных линейных функционалов - но функционал будет линейным .если определён на линейном пространстве?

При этом проде как "базовое пространство" (к которому строется сопряжённое) не обязано быть линейным (если смотреть по определению - там на писано "совокупность функционалов, заданных на некотором топологическом пространстве"). Как же так может быть? или же задание линейного функционала "превращает" пространство в линейное?

ОТВЕТ:

Линейные функционалы рассматриваются только на линейном пространстве,это следует из определения (Семенов Е.М.)

Дело в том, что было невнимательно переписано определение, где сказано: "на некотором топологическом линейном пространстве".