Ассоциативность композиции отображений - доказательство

Пусть мы ввели понятие композиции $*$ двух преобразований $A$ и $B$ следующим образом:
Если $A: m \longmapsto m'$ и $B: m' \longmapsto m''$, то $A*B: m \longmapsto m''$.

А рассуждении о совокупности преобразований по книге Чеботарёва сказано:

Тогда нетрудно видеть, что как $(AB)C$, так и $\Large A(BC)$ переводит $ m$ в $\Large m'''$

Пусть преобразование $C: m'' \longmapsto m''' $ покажем, что действительно $(AB)C = A(BC)$ - или, если писать без пропуска знака композиции $*$, что: $(A*B)*C = A*(B*C)$.