fkn+antitotal

Докажем упражнение 7:

Упражнение 7. Доказать следующее: чтобы убедиться, что некоторая совокупность элементов конечной группы $\mathfrak{G}$ составляет группу $\mathfrak{H}$, достаточно показать, что произведение любых двух элементов этой совокупности тоже принадлежит этой совокупности (дело сводится к проверке аксиом 3 и 4).

(что ниже сообщил мне В.К., который читал материал на английском)

Упражнение 7.

Перестановка как множество

Перестановкой будем называть некое вполне упорядоченное множество, характеризующееся именно порядком следования элементов.

Примеры

Выпишем три перестановки множества $\{1, 2, 3\}$:
$\{1, 2, 3\}$
$\{3, 2, 1\}$
$\{2, 1, 3\}$

Перестановка как действие над множеством

У вас есть некое множество элементов, скажем, несколько книг на полке, вы можете переставлять их разном порядке.

Упражнение 8. Доказать справедливость дистрибутивного закона:
$$ \mathfrak{(A+B)C=AC+BC}, \;\; \mathfrak{C(A+B)=CA+CB} $$

Доказательство. Доказательство вполне очевидно и получается непосредственной проверкой.
Введем обозначения:

$ \mathfrak{A}= A_1+ A_2+\ldots+ A_m$,
$\mathfrak{B}= B_1+ B_2+\ldots+ B_n$,
$\mathfrak{C}= C_1+ C_2+\ldots+ C_k$,

Пусть $ \mathfrak{G}=A_1+A_2+ \ldots +A_n $ есть группа, $ \mathfrak{H} $ - ее подгруппа. Совокупности типа $ \mathfrak{H}A_i $ называются сопряженными системами (смежными классами). Имеет место

Теорема 5. Совокупность $\mathfrak{A}$ составляет группу тогда и только тогда, если имеет место:

$$\mathfrak{A}\cdot\mathfrak{A}=\mathfrak{A} $$

Упражнение 8. Доказать справедливость дистрибутивного закона для совокупностей:

$$ \mathfrak{(A+B)C=AC+BC}, \;\; \mathfrak{C(A+B)=CA+CB} $$

Совокупности

Совокупности нескольких элементов группы обозначаются большими готическими буквами: $\mathfrak{A}, \mathfrak{B}, \mathfrak{C},\ldots$. Если совокупность $\mathfrak{A}$ состоит из элементов $ A_1, A_2,\ldots, A_m$, то принято обозначать совокупность как сумму своих элементов:
$\mathfrak{A}= A_1+ A_2+\ldots+ A_m$.

Uncaught exception 'RuntimeException' with message 'DSN: 'pgsql:host=localhost;dbname
=;'
could not find driver' in

Такая ошибка возникает в ситуации, если у вас в PHP не подключён PDO драйвер PosgreSQL, чтобы его включить, раскомментируйте в php.ini строчку:

extension=php_pdo_pgsql.dll

и перезагрузите сервер (апач).