fkn+antitotal

Правильно ли я понимаю, что при умножении совокупностей в т.5 для умножения их элементов мы подразумеваем применение композиции, определённой для группы, а вот сумма - это дополнительная операция, которая никак ранее не вводилась и результат её нам не известен?

Введем еще следующее обозначение: если совокупность $ \mathfrak{B} $ содержится в $ \mathfrak{A} $ (т.е. состоит из элементов, каждый из которых является элементом $ \mathfrak{A} $), то будем писать:
$\mathfrak{A} \geq \mathfrak{B}$; если же притом равенство обеих совокупностей исключено, то будем писать:
$\mathfrak{A} \gt \mathfrak{B}$

(в процессе)

Докажем упражнение 7:

Упражнение 7. Доказать следующее: чтобы убедиться, что некоторая совокупность элементов конечной группы $\mathfrak{G}$ составляет группу $\mathfrak{H}$, достаточно показать, что произведение любых двух элементов этой совокупности тоже принадлежит этой совокупности (дело сводится к проверке аксиом 3 и 4).

(что ниже сообщил мне В.К., который читал материал на английском)

Упражнение 7.

Перестановка как множество

Перестановкой будем называть некое вполне упорядоченное множество, характеризующееся именно порядком следования элементов.

Примеры

Выпишем три перестановки множества $\{1, 2, 3\}$:
$\{1, 2, 3\}$
$\{3, 2, 1\}$
$\{2, 1, 3\}$

Перестановка как действие над множеством

У вас есть некое множество элементов, скажем, несколько книг на полке, вы можете переставлять их разном порядке.

Упражнение 8. Доказать справедливость дистрибутивного закона:
$$ \mathfrak{(A+B)C=AC+BC}, \;\; \mathfrak{C(A+B)=CA+CB} $$

Доказательство. Доказательство вполне очевидно и получается непосредственной проверкой.
Введем обозначения:

$ \mathfrak{A}= A_1+ A_2+\ldots+ A_m$,
$\mathfrak{B}= B_1+ B_2+\ldots+ B_n$,
$\mathfrak{C}= C_1+ C_2+\ldots+ C_k$,

Пусть $ \mathfrak{G}=A_1+A_2+ \ldots +A_n $ есть группа, $ \mathfrak{H} $ - ее подгруппа. Совокупности типа $ \mathfrak{H}A_i $ называются сопряженными системами (смежными классами). Имеет место

Теорема 5. Совокупность $\mathfrak{A}$ составляет группу тогда и только тогда, если имеет место:

$$\mathfrak{A}\cdot\mathfrak{A}=\mathfrak{A} $$