Циклы, составляющие одну и ту же подстановку, перестановочны - теорема

Но это всё детали. Их стало довольно много.
Я думаю, что необходимо обозначить какую-либо последовательность рассуждений
и проверить её.

Пусть дана некоторая подстановка $T$.

Зная $T$, мы можем получить её циклы.
Эти циклы попарно не пересекаются (или точнее, множества символов, из которых состоят циклы, попарно не пересекаются).
Выбираем любые два различных цикла из них. Общих элементов они не имеют. Это показано здесь.

Теорема 2. Если два цикла не содержат общих элементов, то они перестановочны.

Доказательство.

Пусть циклы $(\alpha_1\ ...\ \alpha_m),\ (\beta_1 ... \beta_l)$ не содержат общих элементов.
Пусть
$$
A=\{\alpha_1,\ ...,\ \alpha_m\}.
$$
$$
B=\{\beta_1,\ ...,\ \beta_l\}.
$$
$$
C=\{1,\ ...,\ n\}\setminus(A\cup B).
$$

Получается, если $y\in C$, то
$$
(y)(\alpha_1\ ...\ \alpha_m)=y
$$
и
$$
(y)(\beta_1 ...\ \beta_l)=y.
$$
Cледовательно, $y\in C$, то
$$
(y)(\alpha_1\ ...\ \alpha_m)(\beta_1 ... \beta_l)=(y)(\beta_1 ... \beta_l)(\alpha_1\ ...\ \alpha_m)=y.
$$
Если $y\in A$, то
$$
(y)(\beta_1 ... \beta_l)=y.
$$
Поэтому
$$
(y)(\alpha_1\ ...\ \alpha_m)(\beta_1 ... \beta_l)=(y)(\beta_1 ... \beta_l)(\alpha_1\ ...\ \alpha_m).
$$
Здесь мы, конечно, использовали то, что если $y\in A$, то $\left((y)(\alpha_1\ ...\ \alpha_m)\right)\in A$. Таким образом мы получили перестановочность наших циклов на множествах
$C$ и $A$.

Циклы $(\alpha_1\ ...\ \alpha_m)$ и $(\beta_1 ... \beta_l)$ входят в это рассуждение симметрично. Поэтому эти циклы перестановочны и на множестве $B$.
У нас есть перестановочность циклов на всём множестве $\{1,\ 2,\ ...,\ n\}$.

Теорема доказана.

Поэтому все циклы подстановки $T$ попарно перестановочны.

Пусть $(\alpha_1\ ...\ \alpha_m)$ --- один из циклов подстановки $T$. И
этот цикл сам является подстанокой. Ясно, что на множестве
$\{\alpha_1\ ...\ \alpha_m\}$ подстановки $(\alpha_1\ ...\ \alpha_m)$ и $T$ действуют одинаково. Отличные же от $(\alpha_1\ ...\ \alpha_m)$ циклы оставляют элементы
$\{\alpha_1\ ...\ \alpha_m\}$ неподвижными. Это есть здесь.

Поэтому подстановка $T$ является произведением своих циклов, и эти циклы перестановочны.

Следствие.

Циклы, составляющие одну и ту же подстановку, перестановочны.