fkn+antitotal

Результаты этого параграфа мы изложим сейчас для случая, когда в качестве квадратичной формы выбрано скалярное произведение в евклидовом пространстве, т. е.
$$ A(x; x) = (x, x). $$

1. В этом параграфе мы укажем ещё один способ построения базиса, в котором квадратичная форма приводится к сумме квадратов. В отличие от предыдущего параграфа мы дадим формулы, выражающие искомый базис $ e_1, e_2, ..., e_n$ непосредственно через исходный базис (а не в несколько шагов, как в параграфе 5).

Урок 13.1. Вопрос к задаче №18.
В условии написано:

Модифицируйте решение предыдущей задачи, так, чтобы длина возрастающего фрагмента каждый раз увеличивалась на единицу (начиная с двух):
8 10 3 8 10 12 3 14 16 18 20 3 ... 3 ... и т. д.

В таком порядке числа должны выводиться на консоль: 8 10 3 8 10 12 3 ? или так
8 10 3 12 14 16 3 ?

Рассмотрим ситуацию, когда приложение с php запущено внутри контейнера и нам нужно отлаживать его через xdebug (инструкция проверялась для php7.4 и Netbeans11.2)

Мы знаем уже, что выражение квадратичной формы $ A(x; x) $ через координаты вектора $x$ зависит от выбора базиса. В этом параграфе будет показано, как привести квадратичную форму к сумме квадратов, т. е. выбрать такой базис (систему координат), я котором квадратичная форма имеет простой вид
$$ A (x; x) = \lambda_1 \xi_1^2 + \lambda_2 \xi_2^2 + ... + \lambda_n \xi_n^2 \qquad \qquad (1) $$

Определение 4. Пусть $ A(x; y)$ - симметричная билинейная форма. Функция $ A (x; x), $ которая получается из $ A (x; y), $ если положить $ y = x,$ называется квадратичной формой

$ A(x; y) $ называется билинейной формой, полярной к квадратичной форме $ A (x; x). $

Требование симметричности формы $ A(x; y) $ в определении квадратичной формы оправдывается следующим предложением, которое без этого было бы неверно.

Пусть даны в n-мерном пространстве два базиса: $ e_1, e_2, ..., e_n $ и $ e_n$ и $ f_1, f_2, ..., f_n.$ Пусть векторы $ f_1, f_2, ..., f_n$ выражаются через векторы базиса $ e_1, e_2, ..., e_n$ формулами
$$
\left.\begin{aligned}
f_1 = c_{11} e_1 + c_{21} e_2 + ... + c_{n1} e_n, \\
f_2 = c_{12} e_1 + c_{22} e_2 + ... + c_{n2} e_n, \\
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . \\
f_n = c_{1n} e_1 + c_{2n} e_2 + ... + c_{nn} e_n,
\end{aligned}\right\rbrace
\qquad \qquad (5) $$

Наблюдается такая проблема:

netbeans 11.2 Перестает слушать порт и открывать проект в браузере в последующих после первой попытка, если остановить отладку при отсутствии соединения с xdebug в первой попытке запуска

IDE приходится перезапускать, чтобы попробовать соединиться с xdebug заново, если вы что-то меняете в нем.

Если же первая попытка проходит успешно, то остановка отладки и последую запуск заново работают нормально, причем не важно - был ли первый запуск отладки в том же проекте, что и второй.

Мы определили билинейную форму аксиоматически. Выберем теперь в n-мерном пространстве какой-либо базис $ e_1, e_2, ..., e_n$ и выразим билинейную форму $ A(x; y)$ через координаты $ \xi_1, \xi_2, ..., \xi_n $ и $ \eta_1, \eta_2, ..., \eta_n $ векторов $x$ и $ y$ в этом базисе. Мы имеем:
$$ A(x; y) = A (\xi_1 e_1 + \xi_2 e_2 + ... + \xi_n e_n; \eta_1 e_1 + \eta_2 e_2 + ... + \eta_n e_n). $$
В силу свойств 1° и 2° билинейной формы

netbeans doesn't open port 9000