fkn+antitotal

В предыдущем пункте у нас остался пробел. Мы определили угол $ \varphi $ между векторами x и y формулой
$$ cos \varphi = {{(x, y)} \over {|x| |y|}} $$

Для того чтобы можно было определить $ \varphi $ из этого равенства, нужно доказать, что
$$ -1 \leqslant {{ (x, y)} \over {|x| |y|}} \leqslant 1 $$
или, что то же самое, что
$$ {{ (x, y)^2} \over {|x|^2 |y|^2}} \leqslant 1, $$
т. е.
$$ (x, y)^2 \leqslant (x, x) (y, y). $$
Это неравенство называется неравенством Коши-Буняковского.

Определим с помощью введённого понятия скалярного произведения длину вектора и угол между векторами.

Определение 2. Длиной вектора $x$ в евклидовом пространстве называется число
$$\sqrt{(x, x)} \qquad \qquad (4)$$
Длину вектора x будем обозначать через $ |x|$.

Notice: Trying to access array offset on value of type bool zircote php 7.4

-- решается обновлением до 3.0.3 (или выше), просто выполните в своем проекте:

composer update zircote/swagger-php

-------

Notice: Trying to access array offset on value of type null

-- появилось после предыдущего обновление, как решить пока не ясно, но документация пересобирается нормальном.

В предыдущем параграфе линейное (аффинное) пространство было определено как множество элементов (векторов) с заданными в нем операциями умножения на числа и сложения.

С помощью этих операций можно сформулирова ь, что такое прямая, плоскость, число измерений пространства, что такое параллельные прямые и т. д.

Пусть $ e_1, e_2, ..., e_n,$ и $ e_n $ и $e_1', e_2', ..., e_n' -$ два базиса n-мерного пространства. Пусть, далее, каждый вектор $ e_\iota' $ выражается через векторы первого базиса формулами
$$
\left.\begin{aligned}
e_1' = a_{11} e_1 + a_{21} e_2 + ... + a_{n1} e_n, \\
e_2' = a_{12} e_1 + a_{22} e_2 + ... + a_{n2} e_n, \\
. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . \\
e_n' = a_{1n} e_1 + a_{2n} e_2 + ... + a_{nn} e_n \\
\end{aligned}\right\rbrace
$$

Пусть заданы два подпространствп n-мерного пространства $R$. Обозначим их $R_1$ и $R_2$.

Определение 8. Если каждый вектор $x$ пространства $R$ можно, и притом единственным образом, представить как сумму двух векторов
$$ x = x_1 + x_2, $$
где $ x_1 \in R_1,$ а $ x_2 \in R_2,$ то говорят, что пространство $R$ разложено в прямую сумму подпространств $R_1$ и $R_2$.

Это обычно записывают так:
$$ R = R_1 + R_2. $$

Урок 11. Задание №2.

Пользователь вводит целые числа. Пока он не введёт число большее 15, в ответ на каждое введённое число выводите сумму этого числа и предыдущего введённого им числа, если же введённое число больше 15, то цикл необходимо завершить.
Первое введенное пользователем число можно сложить с единицей.

Определение 7. Подпространством R' пространства R называется, совокупность элементов из R таких, что они сами образуют линейное пространство относительно уже введенных в R операций сложения и умножения на числа.

Иначе говоря, совокупность R' элементов $ x, y, ...$ из R образует линейное подпространство пространства R, если из $ x \in R' , y \in R' $ следует $ x + y \in R', \lambda x \in R'. $

Примеры:

В разобранных выше примерах некоторые пространства с точки зрения рассматриваемых здесь свойств не отличаются друг от друга. Таковы, например, обычное трехмерное пространство R примера 1 и пространство R', в котором векторы определяются как тройки действительных чисел. В самом, выбрав в R определенную систему координат, мы можем каждому вектору из R поставить в соответствие совокупность трёх его координат, т. Чё. вектор пространства R'.

Можно использовать как команду \prime с знаком степени так и одинарную кавычку с клавиатуры (на английской раскладке, на клавише русской "э"):

• f^\prime 

  $f^\prime$

• f^{\prime\prime}

  $f^{\prime\prime}$

• f'
  //пример в строке выше

  $f'$

• f''

  $f''$

• f_1''
  //пример в строке выше
   

  $f_1''$