fkn+antitotal

Числа, берущиеся для вычисления ср. ар., обычно мало отличаются друг от друга. Тогда вычисление ср. ар. можно очень облегчить с помощью следующего приема:

Если дан ряд величин, то всякая величина, заключенная между наименьшей и наибольшей из данных величин, называется «средней». Из средних величин наиболее употребительны средняя арифметическая и средняя геометрическая.

Средняя арифметическая (или среднее арифметическое) получается от сложения данных величин и деления суммы на число этих величин:
$$\text{ср. ар.} = \dfrac{a_1 + a_2 +\dots + a_n}{n}$$
($a_1, a_2, \dots, a_n$ - данные величины, $n$ — их число).

Чтобы извлечь кубический корень, берем «на глаз» первое приближение и поступаем так.

Возведение в (целую) степень есть повторное умножение, и потому к нему относится все сказанное в #40—#41. При возведении в небольшую степень результат имеет столько же верных цифр, сколько взятое число, или содержит небольшую ошибку в последнем знаке. Если же степень велика, то накопление небольших ошибок может отразиться и на цифрах высшего разряда.

Во избежание излишних выкладок деление приближенных чисел можно выполнять следующим образом:

Правило 1.
Предельная относительная погрешность частного приближенно равна сумме предельных относительных погрешностей делимого и делителя (ср. 39)

Пример 1.

Применяя правила умножения точных чисел к числам приближенным, мы нерационально тратим время и труд на вычисление тех цифр, которые затем нужно откинуть. Вычислительный процесс можно рационализировать, если руководствоваться следующими правилами:

Погрешность произведения можно оценить проще (но зато грубее), чем по способу #39. Эта оценка основана на следующем правиле:

Предельная относительная погрешность произведения приближенно равна сумме предельных относительных погрешностей сомножителей. (О точной величине предельной погрешности см. замечание к Примеру 1.)

Пример 1.
Пусть перемножаются приближенные числа $50$ и $20$ и пусть предельная относительная погрешность первого сомножителя есть $0,4\%$, а второго $0,5\%$. Тогда предельная относительная погрешность произведения $50 \cdot20 = 1000$ приближенно равна $0,9\%$.

Предельная абсолютная погрешность суммы равна сумме предельных абсолютных погрешностей отдельных слагаемых.

Пример 1.
Складываются приближенные числа $265$ и $32$. Пусть предельная погрешность первого есть $5$, а второго $1$. Тогда предельная погрешность суммы равна $5 + 1 = 6.$ Так, если истинное значение первого есть $270$, а второго $33$, то приближенная сумма $(265 + 32 = 297)$ на $6$ меньше истинной $(270 + 33 = 303)$.