§2.4 Ортогональный базис. Изофоризм евклидовых пространств

В первом параграфе мы ввели понятие базиса (системы координат) аффинного пространства. В аффинном пространстве у нас нет оснований предпочитать одни базисы другим-там все базисы равноправны **).

В евклидовом пространстве существуют наиболее удобные базисы, а именно ортогональные базисы. Они играют здесь ту же роль, что и прямоугольные системы координат в аналитической геометрии.

Определение 1. Будем говорить, что n векторов $ e_1, e_2, ..., e_n, $ ни один из которых не равен нулю, образуют Ортогональный базис в n-мерном евклидовом пространстве R, если они попарно ортогональны. Векторы $ e_1, e_2, ..., e_n $ образуют Ортогональный нормированный базис, если они попарно ортогональны и имеют каждый длину 1, т. е. если
$$
\left.\begin{aligned}
1 \text { при } i = k, \\
0 \text { при } i ≠ k.\\
\end{aligned}\right\rbrace = (e_i, e_k)
$$

*) Мы будем обозначать одной и той же буквой вектор и точку, являющуюся его концом (векторы мы проводим из начала координат)

**) Точный смысл этого утверждения таков. Если внимательно просмотреть приведенное в 1 параграфе доказательство изоморфизма аффинных пространств, то легко заметить, что там доказано несколько больше, чем сформулировано, а именно, доказано, что между двумя n-мерными пространствами можно установить изоморфное соответствие так, чтобы заданный базис одного пространства перешёл в заданный базис другого пространства. В частности, если в R заданы два базиса $ e_1, e_2, ..., e_n$ и $ e_n, e_1', e_2', ..., e_n', $ то существует изоморфное отображение пространства R на себя, при котором первый базис переходит во второй.

Для того чтобы данное нами определение ортогонального базиса было корректным, необходимо доказать, что входящие в определение векторы $ e_1, e_2, ..., e_n$ действительно образуют базис, т. е. линейно независимы.

Докажем это, т. е. покажем, что равенство
$$ \lambda_1 e_1 + \lambda_2 e_2 + ... + \lambda_n e_n = 0 \qquad \qquad (2) $$
возможно лишь, если $ \lambda_1 = \lambda_2 = ... = \lambda_n = 0. $ Умножим обе части равенства (2) скалярное на $e_1$. Получим:
$$ \lambda_1 (e_1, e_1) ≠ 0, (e_1, e_k) = 0 при k ≠ 1. $$
Следовательно $ \lambda_1 = 0. $ Аналогично, умножая (2) скалярное из $ e_2$, получим, что $ \lambda_2 = 0$ и т. ж. Мы доказали, таким образом, что $ e_1, e_2, ..., e_n $ линейно независимы.

Чтобы доказать существование ортогональных базисов, воспользуемся так называемым процессом ортогонализации, который часто встречается в геометрии. Он состоит в том, что из данных линейно независимых векторов $ f_1, ..., f_m $ строятся m попарно ортогональных векторов $ e_1, ..., e_m $.
Опишем этот процесс. Пусть даны m линейно независимых векторов $ f_1, ..., f_m.$

По этим векторам мы построим процессом ортогонализации m попарно ортогональных векторов.

Положим $ e_1 = f_1.$ Вектор $ e_2$ будем искать в виде: $ e_2 = f_2 + \alpha e_1$. Число $\alpha$ подберём так, чтобы $ (e_2, e_1) = 0,$ т. е. $( f_2 + \alpha e_1, e_1) = 0$. Отсюда
$$ \alpha = - {{(f_2, e_1)} \over {(e_1, e_1)}}.$$

Предположим, что попарно ортогональные и отличные от нуля векторы $ e_1, e_2, ..., e_{k-1} $ уже построены. Вектор $e_k$ ищем в виде:
$$ e_k = f_k + \lambda_1 e_1 + ... + \lambda_{k-1} e_{k-1},$$
т. е. вектор $ e_k$ мы получаем из вектора $ f_k$ "исправлением" с помощью линейной комбинации уже построенных векторов $ e_1, e_2, ..., e_{k-1}>$

Коэффициенты $ \lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_{k-1} $ находим условия ортогональности вектора
$$ e_k = f_k + \lambda_1 e_1 + ... + \lambda_{k-1} e_{k-1} $$
к векторам $ e_1, e_2, ..., e_{k-1}:$
$$ (f_k + \lambda_1 e_1 + ... + \lambda_{k-1} e_{k-1}, e_1) = 0; \\
(f_k + \lambda_1 e_1 + ... + \lambda_{k-1} e_{k-1}, e_2) = 0; \\ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . \\
(f_k + \lambda_1 e_1 + ... + \lambda_{k-1} e_{k-1}, e_{k-1}) = 0. $$
Так векторы $ e_1, e_2, ...., e_{k-1} $ попарно ортогональны, то эти равенства записываются в виде:
$$ (f_k, e_1) + \lambda_1(e_1, e_1) = 0; \\ (f_k, e_2) + \lambda_2(e_2, e_2) = 0; \\ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . \\ (f_k, e_{k-1} + \lambda_{k-1} (e_{k-1}, e_{k-1}) = 0.$$
Отсюда
$$ \lambda_1 = - {{(f_k, e_1)} \over {(e_1, e_1)}}, \lambda_2 = - {{(f_k, e_2)} \over {e_2, e_2)}}, ..., \\ \lambda_{k-1} = - {{(f_k, e_{k-1})} \over {(e_{k-1}, e_{k-1})}}$$

До сих пор не было использовано то, что векторы $ f_1, f_2, ..., f_n$ линейно независимы. Мы используем это при доказательстве того, что построенный вектор $ e_k$ отличен от нуля. Заметим предварительно, что вектор $ e_k$ есть линейная комбинация векторов $ e_1, e_2, ..., e_{k-1}, f_k.$ Но вектор $ e_{k-1}$ можно заменить линейной комбинацией вектора $ f_{k-1} $ и вектор $ e_1, e_2, ..., e_{k-2}$ и т. д. Окончательно мы получаем, что вектор $ e_k$ записывается в виде
$$ e_k = a_1 f_1 + a_2 f_2 + ... + a_{k-1} f_{k-1} + f_k. \qquad \qquad $$
Теперь ясно, что $ e_k = 0.$ Действительно, в противном случае правая часть равенства (5) была бы нулем, что противоречит линейной независимости векторов $ f_1, f_2, ..., f_k,$ так как коэффициент при $ f_k$ равен 1. Итак, доказано, что $ e_k≠0.$

Мы построили по векторам $ e_1, e_2, ..., e_{k-1}$ и $ f_k$ вектор $ e_k$. Таким же образом по $ e_1, e_2, ..., e_k и f_{k+1} $ мы построим $ e_{k+1} $ и т. д.

Продолжая этот процесс до тех пор, пока не будут исчерпаны заданные векторы $ f_1, f_2, ..., f_m,$ получаем m отличных от нуля и попарно ортогональных векторов $ e_1$, e_2, ..., e_m.$ Докажем теперь следующую теорему.

Теорема. Во всяком n-мерном пространстве существуют ортогональные базисы.

Доказательство. По определению n-мерного пространства в нем существует какой-то базис $ f_1, ..., f_n.$ С помощью процесса ортогонализации из него можно построить Ортогональный базис $ e_1, ..., e_n,$ что и доказывает теорему.
Если заменить векторы $ e_k$ векторами
$$ e_k' = {{e_k} \over ,{|e_k|}}, $$
то это будут, как нетрудно видеть, попарно ортогональные векторы длины 1, т. е. мы получим ортогональный нормированный базис.

Нетрудно видеть, что таких базисов существует много. Действно, уже из данного базиса $ f_1, ..., f_n$ можно построить разные ортогональные базисы, если начинать построение с разных векторов $ f_k$. Позднее, мы рассмотрим вопрос в том, как связаны между собой различные ортогональные базисы.

Примеры ортогонализации.

1. Пусть R-трехмерное пространство. Процесс ортогонализации в нем означает следующее: пусть даны три линейно независимых вектора $ f_1, f_2, f_3. $ Положим $ e_1 = f_1.$ Проводим затем плоскость через $ e_1 = f_1 и f_2$ и в этой плоскости выбираем вектор $ e_2$, ортогональный к $ e_1$. Наконец, во всем пространстве находим вектор, Ортогональный к $ e_1$ и к $ e_2$ (т. е. к построенной ранее плоскости).
2. Пусть R-трехмерное пространства, векторами в котором мы считаем многочлены степени не выше второй. Скалярное произведение зададим формулой

$$ \int\limits_{-1}^1 P(t) Q(t) dt. $$

Векторы $ 1, t, t^2$ образуют базис в R. Применим к этому базису процесс ортогонализации: $ e_1 = 1; $ вектор $ e_2$ ищем в виде: $ t + \alpha \cdot 1;$ из условия ортогональности
$$ 0 = (t + \alpha \cdot 1, 1) = \int\limits_{-1}^1 (t + \alpha) dt = 2a$$
получаем $ \alpha = 0.$ Значит, $ e_2 = t$. Вектор $ e_3$ ищем в виде: $ t_2 + \beta t + \gamma \cdot 1. $
Из условий ортогональности получаем $ \beta = 0, \gamma = - {{1} \over {3}}, $ т. е. $ e_3 = t^2 - {{1} \over {3}}.$ Окончательно получаем Ортогональный базис $ 1, t, t^2 - {{1} \over {3}}>
.$
Если разделить каждый вектор на его длину, то получим Ортогональный нормированный базис.

3. Пусть R - пространство многочленов степени не выше чем n-1. Скалярное произведение определим так же, как в предыдущем примере.

Возьмем базис $ 1, t, t^2, ..., t^{n-1}.$ Процесс ортогонализации приводит нас, как в примере 2, к последовательности многочленов
$$ 1, t, t^2 - {{1} \over {3}}, t^3 - {{3} \over {5}}, ...$$
Эти многочлены с точностью до множителей совпадают с многочленами
$$ {{1} \over {2^k \cdot k!}} {{(t^2 - 1)^k} \over {dt^k}}, $$
которые называются многочленами Лежандра. Многочлены Лежандра образуют Ортогональный, но не нормированный базис в R. Умножая каждый из этих многочленов на соответствующий множитель, мы можем построить Ортогональный и нормированный базис; его элементы будем обозначать через $ P_k (t).$

Пусть $ e_1, e_2, ..., e_n $ - ортогональный базис евклидова пространства R. Найдем, как выражается скалярное произведение двух векторов через их координаты в этом базисе. Пусть $ \xi_1, \xi_2, ..., \xi_n $- координаты вектора x, а $ \eta_1, \eta_2, ..., \eta_n$ - координаты вектора y в этом базисе , т. е.
$$ x=\xi_1 e_1 + \xi_2 e_2 + ... + \xi_n e_n, $$
$$ y= \eta_1 e_1 + \eta_2 e_2 + ... + \eta_n e_n. $$
Тогда
$$ (x, y) = (\xi_1 e_1 + \xi_2 e_2 + ... + \xi_n e_n, \eta_1 e_1 + \eta_2 e_2 + ... + \eta_n e_n), $$
и так как
$$
\left.\begin{aligned}
1 \text { при } i = k, \\
0 \text { при } i ≠ k.\\
\end{aligned}\right\rbrace = (e_i, e_k)
$$
то
$$ ( x, y) = \xi_1 \eta_1 + \xi_2 \eta_2 + ... + \xi_n \eta_n, \qquad \qquad (6) $$
т. е в нормированном ортогональном базисе скалярное произведение двух векторов равно сумме произведением их соответствующих координат.

Упражнения 1. Показать, что в произвольном базисе $ f_1, f_2, ..., f_n $ скалярное произведение задаётся формулой
$$ (x, y) = \sum_{i, k=1}^n \alpha_{ik} \xi_i \eta_k, $$
где $ \alpha_{ik} = \alpha_{ki}, а \xi_1, \xi_2, ..., \xi_n и \eta_1, \eta_2, ..., \eta_n$ - координаты векторов x и соответственно y.

2. Показать, что если в некотором базисе $ f_1, f_2, ..., f_n$ скалярное произведение задаётся формулой
$$ (x,. y) = \xi_1 \eta_1 + \xi_2 \eta_2 + ... + \xi_n \eta_n, $$
где $ \xi_1, \xi_2, ..., \xi_n и \eta_1, \eta_2, ..., \eta_n -$ координаты векторов x и y, то этот базис является ортогональным и нормированным.

Найдем координаты вектора x в нормированном ортогональном базисе $ e_1, e_2, ..., e_n.$
Пусть
$$ x=\xi_1 e_1 + \xi_2 e_2 + ... + \xi_n e_n. $$
Умножив обе части этого равенства скалярно на $e_i$, получим
$$ (x, e_1) = \xi_1 (e_1, e_1) + \xi_2 (e_2, e_1) + ... + \xi_n (e_n, e_1) = \xi_1$$
и, аналогично,
$$ \xi_2 = (x, e_2), ..., \xi_n = (x, e_n). \qquad \qquad (7) $$

Итак: координаты вектора в ортогональном нормированном базисе суть скалярные произведения этого вектора на соответствующие базисные векторы.

Скалярное произведение вектора x на вектор e длины единица естественно назвать проекцией вектора x на вектор e. Доказанное утверждение обозначает, что, как и в аналитической геометрии, координаты вектора в ортогональном нормированном базисе суть проекции этого вектора на бищиснын векторы (на оси координат).

Примеры.
1. Пусть $ P_0(t), P_1(t), ..., P_n(t)$ - нормированные многочлены Лежандра нулевой, первой, ..., n-й степени. Пусть, далее, $ Q(t) -$ произвольный многочлен степени n. Представим $ Q(t)$ в виде линейной комбинации многочленов Лежандра. Совокупность многочленов степени $ \leqslant n$ образует $ n + 1$ - мерное линейное пространство, $ P_0(t), P_1(t), ..., P_n(t)$ образуют ортогональный базис в нем. Поэтому всякий многочлен степени $ \leqslant n$ представим в виде
$$ Q(t) = c_/ P_0 (t) + c_1 P_1 (t) + ... + c_n P_n (t). $$
Коэффициенты $ c_i$, как это следует из (7), вычисляются по формулам $$ ci = \int\limits_{-1}^1 Q(t) P_i (t) dt. $$
2. Рассмотрим на интервале $ (0, 2π)$ систему функций
$$ 1, \cos t, \sin t, \cos 2t, \sin 2t, ..., \cos nt, \sin nt . \qquad \qquad (8) $$
Их линейная комбинация
$$ P(t) = {{\alpha_0} \over {2}} + \alpha_1 \cos t + b_1 \sin t + \alpha_2 \cos 2t + ... + b_n \sin nt $$
называется тригонометрическим многочленом n-го порядка. Совокупность тригонометрических многочленов n-го порядка образует $(2π +1)$ - мерное пространство $ R_1$. Определим в $ R_1$ скалярное произведение, как обычно, т. е. положим
$$ (P, Q) = \int\limits_0^{2π} P(t) Q(t) dt. $$
Легко проверить, что система (8) будет ортогональным базисом.
Действительно
$$ \int\limits_0^{2π} \cos ky \cos dt = 0, если k ≠ \iota, $$
$$ \int\limits_0^{2π} \sin kt \cos \iota t dt =0, $$
$$ \int\limits_0^{2π} kt \sin \iota t dt=0, если k ≠ \iota. $$
Так как
$$ \int\limits_0^{2π} \sin^2 kt\ dt = \int\limits_0^{2π} \cos^2 kt\ dt = π, \text{а} \int\limits_0^{2π} 1\ dt = 2π, $$
то функции
$$ {{1} \over {\sqrt{2π}}}, {{1} \over {\sqrt{2π}}} \cos t, {{1} \over {\sqrt{2π}}} \sin t, ..., {{1} \over {\sqrt{2π}}} \cos nt, {{1} \over {\sqrt{2π}}} \sin nt \qquad \qquad (8') $$
образуют в $ R_1$ Ортогональный нормированный базис.