§8.5 Приведение квадратичной формы к сумме квадратов.

Теорема 1. Пусть $A(x; x) $ - эртимитова квадратичная форма в комплексном аффинном пространстве $R$. Тогда в $R$ существует базис $e_2, e_2, ..., e_n, $ в котором эта квадратичная форма имеет вид
$$ A (x;x) = \lambda_1 \xi_1 \over{\xi_1} + \lambda_2 \xi_2 \overline{\xi_2} + ... + \lambda_n \xi_n \overline{\xi_n}, $$
где $ \lambda_i $ - вещественны.

Доказательство можно получить перенося почти дословно доказательство соответствующей теоремы в вещественном пространстве.

Однако в виду того, что в 5 параграфе это доказательство изложено без уяснения его геометрической стороны, мы здесь вкратце повторим это доказательство в ином, более геометрическом, изложении. Для этого мы будем один за другим выбирать векторы того базиса, в котором форма приводится к сумме квадратов.

Выберем вектор $e_1$ так, что $ A(e_1; e_1) ≠ 0;$ это возможно, так как в противном случае мы имели бы $ A(x; x) = 0$ для любого $x$, а следовательно, в силу формулы (1), и $ A(x; y) = 0. $ В (n-1) - мерном пространстве $ R^1$, состоящем из векторов $x$, удовлетворяющих условию $ A(e_1; x) = 0,$ выберем вектор $e_2$ такой, что $A(e_2; e_2) ≠0,$ и т. д. Этот процесс продолжим до тех пор, пока мы не приведем к подпространству $ R^r$, в котором $ A(x; y) = 0 R^r$ может оказаться состоящим лишь из нуля. Если $ R^r$ отлично от нуля, то выберем в нем произвольный базис $ e_{r+1}, e_{r+2}, ..., e_n. $ Вместе с построенными векторами $ e_1, e_2, ..., e_r $ они образуют базис $ e_1, e_2, ..., e_n $ всего $R$. По построению
$$ A(e_i; e_k) = 0 \text{для} i а значит, в силу эрмитовости формы $A(x; y), $
$$ A(e_i, e_k) = 0 \text{и для} i> k, $$
т. е.
$$ A(e_i; e_k) = 0 \text{для} i≠k. $$
Поэтому, если
$$ x= \xi_1 e_1 + \xi_2 e_2 + ... + \xi_n e_n $$
- произвольный вектор, то
$$ A(x; x) = \xi_1 \overline{\xi} A( e_1; e_1) + \xi_2 \overline{\xi_2} A(e_2; e_2) + ... + \xi_n \overline{\xi_n} A(e_n; e_n). $$
При этом числа $ A(e_i; e_i) $ вещественны, как значения эрмитовой квадратичной формы. Обозначая $ A(e_i; e_i) $ через $ \lambda_i $, имеем:
$$ A(x; x) = \lambda_1 \xi_1 \overline{\xi_1} + \lambda_2 \xi_2 \overline{\xi_2} + ... + \lambda_n \xi_n \xi_n = \\
= \lambda_1 |\xi_1|^2 + \lambda_2 |\xi_2|^2 +;... + \lambda_n |\xi_n|^2. $$