§13. 1 Унитарные преобразования

Мы определили в параграфе 11 унитарные преобразования равенством
$$ UU^* = U^* U=E. \qquad \qquad (1)$$
Это определение имеет простой геометрический смысл. А именно:
Всякое унитарное преобразование $U$ в евклидовом n-мерном пространстве $R$ сохраняет скалярное произведение, т. е.
$$ (Ux, Uy) = (x, y) $$
для всех $x, y \in R.$ Обратно, всякое линейное преобразование $U$, сохраняющее скалярное произведение, унитарно [т. е. удовлетворяет условию (1)]

В самом деле, если дано, что $U^* U = E, $ то
$$ (Ux, Uy) = (x, U^* Uy) = (x, y). $$
Обратно, если два любых векторов $x$ и $y$
$$ (Ux, Uy) = (x, y), $$
то
$$ (U^* Ux, y) = (x, y), $$
т. е.
$$ (U^* Ux, y) = (Ex, y). $$

Так как из равенства билинейных форм следует равенство следующих преобразований, то $ U^* U=E, $ т. е. $U$ унитарно.

В частности, при $x = y$ имеем:
$$ (Ux, Ux) = (x, x), $$
т. е. унитарное преобразование $U$ не меняет длин векторов.

Упражнение.
Доказать, что если линейное преобращование сохраняет длины всех векторов, то оно унитарно.

Запишем условия унитарности линейного преобразования в матричной форме. Для этого выберем какой-либо ортогональный нормированный базис $e_1, e_2, ..., e_n$. Пусть в этом базисе преобразованию $U$ соответствует матрица
$$ \begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} ... a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} ... a_{2n} \\
\cdots & \cdots & \cdots \\
a_{n1} & a_{n2} ... a_{nn}
\end{pmatrix} \qquad \qquad (2)$$

Тогда сопряженному преобразованию $U^*$ соответствует матрица
$$ \begin{pmatrix}
\overline{a_{11}} & \overline{a_{21}} ... \overline{a_{n1}} \\
\overline{a_{12}} & \overline{a_{22}} ... \overline{a_{n2}} \\
\cdots & \cdots & \cdots \\
\overline{a_{1n}} & \overline{a_{2n}} ... \overline{a_{nn}}
\end{pmatrix}. \qquad \qquad (3) $$

Условие унитарности $UU^* = E$ означает, что произведение матриц (2) и (3) есть единичная матрица. Если перемножить их и приравнять элементы произведения соответственным элементам единичной матрицы, то получим:
$$ \sum_{\alpha=1}^n a_{i \alpha} = 1, \sum_{alpha=1}^n a_{i \alpha} \overline{a_{k \alpha}} = 0 (i ≠ k). \qquad (4) $$

Итак, в ортогональном нормированном базисе условие $UU^* = E$ означает, что сумма произведений элементов какой-либо строки матрицы преобразования $U$ на элементы, сопряженным к элементам другой строки, равна нулю, а сама сумма квадратов модулей элементов любой строки равна единице.

Так как $U^* U= E$ также есть условие унитарности, то мы имеем также:
$$ \sum_{\alpha=1}^n a_{\alpha i} \overline{a_{\alpha i}} = 1; \sum_{a = 1}^n a_{\alpha i} \overline{a_{\alpha k}} = 0 (i≠k). \qquad (5) $$
Это условие аналогично предыдущему, но вместо строк в нем участвуют столбцы матрицы.

Условие (5) имеет простой геометрический смысл. Действительно, скалярное произведение векторов
$$ Ue_i = a_{1k} e_1 + a_{2k} e_2 + ... + a_{nk} e_n $$
равно $\sum a_{\alpha i} \overline{a_{\alpha k}} $ (так как $e_1, e_2, ..., e_n $ - это ортогональный нормированный базис); поэтому
$$
\left.\begin{aligned}
1 \text{при} i≠k, \\
0 \text{при} i≠k.
\end{aligned}\right\rbrace = (Ue_i, Ue_k) \qquad \qquad (6)
$$

Следовательно, для того чтобы линейное преобразование $U$ было унитарным, необходимо и достаточно, чтобы оно переводило какой-либо Ортогональный нормированный базис $e_1, e_2, ..., e_n$ снова в ортогональный и нормированный базис $Ue_1, Ue_2, ..., Ue_n. $

Матрица $||a_{ik}||,$ элементы которой удовлетворяют условиям (5), называется унитарной матрицей. Унитарные матрицы являются, как мы видели, матрицами унитарных преобразований в ортогональном нормированном базисе. Так как переход от одного ортогонального нормированного базиса к другому задаётся унитарным преобразованием, то матрица перехода от одного ортогонального нормированного базиса к другому такому же является унитарной.

Посмотрим, к какому простейшему виду можно привести матрицу унитарного преобразования при соответствующем выборе базиса.

Лемма 1. Собственные значения унитарного преобразования по модулю равны 1

Доказательство. Пусть $x$ - собственный вектор унитарного преобразования $U$ и $\lambda$ - соответствующее собственное значение, т. е.
$$ Ux = \lambda x, x≠0. $$
Тогда
$$ (x, x) = (Ux, Ux) = (\lambda x, \lambda x) = \lambda \overline{\lambda} (x, x), $$
т. е. $\lambda \overline{\lambda} = 1,$ значит $|\lambda|=1,$ что и требовалось доказать.

Лемма 2. Пусть $U$ - унитарное линейное преобразование в n-мерном пространстве $R$ и $e$- его собственный вектор, т. е.
$$Ue = \lambda e, e≠0. $$
Тогда $(n-1) $ - мерное подпространство $R_1,$ состоящее из векторов $x,$ ортогональных к $e,$ инвариантно относительно $U.$

Доказательство.
Пусть $x \in R_1$, т. е. $(x, e) = 0. $ Покажем, что $Ix \in R_1,$ т. е. что $(Ux, e) = 0.$ В самом деле,
$$ (Ux, Ue) = (U^* Ux, e) = (x, e) = 0.$$
А так как $ Ue = \lambda e,$ то $ \overline{\lambda} (Ux, e) = 0.$ Но в силу леммы 1 $ \lambda ≠0,$ поэтому $(Ux, e) = 0,$ т. е. $Ux \in R_1.$ Следовательно, подпространство $R_1$ инвариантно относительно $U.$

Теорема 1. Пусть $U$ - унитарное преобразование в n-мерном евклидовом пространстве $R$. Тогда существует $n$ попарно ортогональных собственных векторов преобразования $U$. Соответствующие им собственные значения по модулю равны единице.

Доказательство. В силу теоремы 1 параграфа 10 преобразование $U$, как и всякое линейное преобразование, имеет в $R$ хотя бы один собственный вектор. Обозначим его $e_1,$. Согласно лемме 2, (n-1) мерное подпростраство $R_1,$ состоящее из всех векторов пространства $R,$ ортогональных к $e_1,$ инвариантно относительно $U.$ Следовательно, в $R_1$ также имеется хотя бы один собственный вектор $e_2$ преобразования $U.$ Через $R_2$ обозначим инвариантное подпространство, состоящее из всех векторов, принадлежащих $R_1$ и ортогональных к $e_2.$ В $R_2$ содержится некоторый собственный вектор $e_3$ преобразования $U$ и т. д.: продолжая этот процесс, мы построим $n$ попарно ортогональных собственных векторов $e_1, e_2, ..., e_n $ преобразования $U$. Согласно лемме 1 собственные значения, соответствующие собственным векторам $e_1, e_2, ..., e_n, $ по модулю равны 1.

Теорема 2. Для каждого унитарного преобразования
$U$ в n-мерном пространстве $R$ существует нормированный Ортогональный базис, в котором матрица преобразования $u$ диагональна, т. е. имеет вид:
$$ \begin{pmatrix}
\lambda_1 & 0 ... 0 \\
0 & \lambda_2 ... 0 \\
\cdots & \cdots \\
0 & 0 ... \lambda_n
\end{pmatrix} \qquad \qquad (7) $$
причем $ \lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_n$ - числа, по модулю равные единице.

Доказательство. Пусть $U$- унитарное преобразование. Тогда попарно ортогональных нормированных собственных векторов, построенных в предыдущей теореме, образуют искомый базис. Действительно,
$$ Ue_1 = \lambda_1 e_1, \\
Ue_2 = \lambda_2 e_2, \\
................. \\
Ue_n = \lambda_n e_n $$
и, следовательно, матрица преобразования $U$ в базисе $e_1, e_2, ..., e_n$ имеет вид (7). Числа $\lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_n$ по модулю равны 1 в силу леммы 1. Теорема доказана.

Упражнения.
1. Доказать, что верное и обратное, т. е. если в некотором ортогональном базисе матрица преобразования $U$ имеет вид (7), то $U$ унитарно.

2. Доказать, что если $A$ - самосопряженное преобразование, то преобразование $(A- iE)^{-1} (A+iE) $ существует и является унитарным.
3. Пусть $U$ - унитарное преобразование. Доказать, что если преобразование $U-E$ обратимо, то преобразование
$$ A= i(U- E)^{-1} (U+E) $$
сопряженное.

Так как матрица перехода от одного ортогонального нормированного базиса к другому задаётся унитарной матрицей, то полученный в этом параграфе результат мы можем в матричных терминах сформулировать следующим образом:

Пусть $U$-заданная унитарная матрица. Тогда существует такая унитарная матрица $V,$ что $U$ представила в виде
$$ U=V^{-1} DV, $$
где $D$ - диагональная матрица, у которой по диагонали стоят числа, по модулю равные 1.

Аналогично, основной результат п. 1 параграфа 12 в матричных терминах формулируется так:

Пусть $A$- заданная эрмитова матрица. Тогда $A$ может быть в виде
$$A= V^{-1} DV, $$
где $V$ - унитарная матрица, а $D$ - диагональная матрица, у которой по диагонали стоят вещественные числа.