§23.3 Взаимозаменяемость $R$ и $R'$.

В предыдущем изложении $R$ и $R'$ играли различную роль. Мы покажем, что они совершенное равноправны, т. е. что теоремы останутся справедливыми, если мы поменяем их ролями.

Мы определили $R'$ как совокупность линейных функций в $R.$ Чтобы установить равноправность $R$ и $R'$, докажем, что всякая линейная функция $ \phi (f)$ в $R'$ может быть записана в виде $ (f, x_0)$, где $x_0$-фиксироварный вектор из $R.$

Пусть $e_1, e_2, ..., e_n$ - некоторый базис в $R$ и $ f^1, f^2, ...., f^n$ - взаимный с ним базис в $R'$. Линейная функция $ \phi (f)$ может быть записана в виде
$$ \phi (f) = a^1 \eta_1 + a^2 \eta_2 + ... + a^n \eta_n, $$
где $ \eta_1, \eta_2, ..., \eta_n$ - координаты вектора $f$ в базисе $ f^1, f^2, ..., f^n.$ Рассмотрим вектор $ x_0,$ имеющий в базисе $ e_1, e_2, ..., e_n$ координаты $ a^1, a^2, ..., a^n$.
Тогда
$$ (f, x_0) = a^1 \eta_1 + a^2 \eta_2 + ... + a^n \eta_n $$
и, следовательно,
$$ \phi (f) = (f, x_0) \qquad \qquad (5)$$

Эта формула устанавливает взаимно однозначное соответствие между линейными финкцями $ \phi,$ заданными в $R',$ и векторами $x_0 \in R.$

Мы можем поэтому во всем изложении считать $ R$ пространством линейных функций над $ R'$, задавая эти линейные функции формулой (5). Этим установлено полное равноправие между $ R$ и $R'.$

Заметим, что при одновременном излучении пространства и споряженного пространства мы употребляем лишь обычные для векторов операции сложения и умножения на число в каждом пространстве и операцию $(f, x)$, связывающую элементы обоих пространств.
Коротко говоря, пара сопряженных пространств $R$ и $R'$ - это пара n-мерных пространств с введённой дополнительно операцией $(f, x),$ удовлетворяющей перечисленным условиям.

Замечание Мы доказали, что для каждого базиса в $ R$ существует и притом единственный взаимный с ним базис в $R'$. Из равноправия между ними следует, что для всякого базиса в $R'$ существует и притом единственный взаимный с ним базис в $R.$