Угол между векторами через скалярное произведение в комплексном пространстве

По порядку:

Скалярное произведение комплексных векторов

Скалярное произведение для комплексных векторов $\mathbf{a} = [a_1, a_2, ..., a_n]$ и $\mathbf{b} = [b_1, b_2, ..., b_n]$ определяеют так:

$\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=\sum_{i=1}^n a_i\overline{b_i}=a_1\overline{b_1}+a_2\overline{b_2}+\cdots+a_n\overline{b_n}$.

Норма вектора через скалярное произведение

Евклидова норма через скалярное произведение для вектора $x$ выглядит так:
$\Large ||x|| = \sqrt{(x,x)}$

Косинус угла через скалярное произведение и норму

Косинус угла $m$ между векторами $x$ и $y$ в комплексном пространстве определяется равенством:
$\Large cos \, m = {(x, y)\over{||x|| * ||y||}}$
где:

• $(x,y)$ -- скалярное произведение этих векторов
• а $||x|| * ||y||$ -- произведение их норм

Пример расчета косинуса для комплексных векторов

Возьмём два вектора:
$[1+i, 2]$ и $[2+i, i]$
Вычислим:

• Их скалярное произведение: $ [1+i, 2] \cdot [2+i, i] = (1+i) \cdot (\overline{2+i}) + 2 \cdot \overline i = (1+i) \cdot (2-i) + 2 \cdot (-i) = 3-i$
• Норму $[1+i, 2]$:
  $\sqrt{[1+i, 2] \cdot [1+i, 2]} = \sqrt{1 - i^2 + 4} = \sqrt{6}$
• Норму $[2+i, i]$:
  $\sqrt{[2+i, i] \cdot [2+i, i]} = \sqrt{4 - i^2 - i^2} = \sqrt{6}$

Тогда для косинуса угла между этими векторами получаем:
$\large cos \, m = {3 - i \over{\sqrt{6} * \sqrt{6}}} = {3 - i \over{6}}$
т.е. фактически комплексное число (т.е. комплексное значение косинуса).

Вычисление угла между комплексными векторами

Вычисление угла требует получения арккосинуса для комплексного числа.