Группа - определение (алгебра)
Primary tabs
Forums:
Непустое множество $X$ называют группой, если выполнены следующие четыре условия (аксиомы):
- На множестве $X$ задан закон композиции -- бинарная операция $*$ :
Для любых двух $a,b\in X$, взятых в определённом порядке, однозначно определено их произведение $a*b$, также принадлежащее $X$
(будем для определённости называть произведением результат бинарной операции $*$)
- Для всех элементов множества $X$ выполняется ассоциативный (сочетельный) закон, то есть:
$ (a * b) * c = a * (b * c)$ для $ \forall a, b, c \in X$
- В $X$ существует правая единица (правый единичный элемент):
$\exists j\in X\,:\,\, a * j=a$ для $\forall a\in X$
- Для каждого элемента $x$ множества $X$ можно найти его правый обратный элемент:
$\forall a\in X\,\,\exists x\in X\, :\,\, a * x = j$
Для любых двух $a,b\in X$, взятых в определённом порядке, однозначно определено их произведение $a*b$, также принадлежащее $X$
(будем для определённости называть произведением результат бинарной операции $*$)
$ (a * b) * c = a * (b * c)$ для $ \forall a, b, c \in X$
$\exists j\in X\,:\,\, a * j=a$ для $\forall a\in X$
$\forall a\in X\,\,\exists x\in X\, :\,\, a * x = j$
- Log in to post comments
- 48062 reads
math2
Mon, 01/12/2015 - 23:16
Permalink
Следует заменить слово
Следует заменить слово "некоторую" на "непустую". Условие непустоты множества $X$ обязательно в этом определении.
Словосочетание "совокупность элементов $X$", вырванное из данного контекста, может быть неверно понято: буква $X$ относится к элементу совокупности, а не к самой совокупности.
Я думаю, что лучше написать короче:
"Непустое множество $X$ называют группой, если выполнены следующие четыре условия (аксиомы): "
В пунктах 3 и 4 лучше явно указать множество $X$:
"В $X$ существует правая единица ..."
"Для каждого элемента множества $X$ можно найти его правый обратный элемент"
vedro-compota
Mon, 01/12/2015 - 23:28
Permalink
math2, спасибо.
math2, спасибо.
указанные правки выполнены.
А почему важно чтобы множество было непустым?
Потому что если оно пустое, то там нет единичного элемента, так как нет элементов вообще, да?
_____________
матфак вгу и остальная классика =)
math2
Tue, 01/13/2015 - 00:19
Permalink
Да.
Да.
Пустое множество не может содержать единичный элемент.
math2
Tue, 01/13/2015 - 00:07
Permalink
Обозначать и элементы групп,
Обозначать и элементы групп, и сами группы заглавными буквами одного и того же шрифта очень неудобно. Для групп (а также для их подмножеств) лучше выбрать другой шрифт, например готический,
или обозначать группы заглавными буквами, а их элементы -- строчными.
vedro-compota
Tue, 01/13/2015 - 00:18
Permalink
обозначать группы заглавными
это проще всего- будем этот вариант использовать.
Множество - большой буквой, а его элементы - строчными.
_____________
матфак вгу и остальная классика =)
math2
Tue, 01/13/2015 - 21:37
Permalink
Первый пункт, вероятно, лучше
Первый пункт, вероятно, лучше немного переформулировать, явно указав на связь
символа $*$ и закона композиции. Например, так:
1. На множестве $X$ задан закон композиции -- бинарная операция $*$.
Для любых двух $a,b\in X$, взятых в определённом порядке, однозначно определено их произведение $a*b$, также принадлежащее $X$.
Выражение же
недопустимо, так как при фиксированных $a,b\in X$ позволяет произвольному $c\in X$
считаться произведением $a*b$.
В пункте 2 слово "совокупности" лучше поменять на "множества $X$".
Также считаю, что в строке
$(a?b)?c=a?(b?c)\,\,$ для $\forall a,b,c\in X$
запятая перед "для" не требуется.
vedro-compota
Wed, 01/14/2015 - 22:45
Permalink
В пункте 2 слово
Эти 2 (из 3-х) правки внесены, благодарю.
эту правку поддерживаю, но нужно уточнить употребление слова "произведение", так как начали с вопрозиции, а "за произведение":
и если используем "бинарная операция" то предлагаю объяснять его так: http://fkn.ktu10.com/?q=node/6449 (включено в наш глоссарий)
Кстати, композия в данном контексте это строго бинарная операция получается, да?
_____________
матфак вгу и остальная классика =)
math2
Thu, 01/15/2015 - 00:05
Permalink
Да, бинарная.
Да, бинарная.
Слово "композиция" часто к отображениям применяется:
"композиция отображений".
В книге Чеботарёва "Основы теории Галуа" рассматриваются группы биективных отображений конечных множеств.
В этих группах операция -- композиция отображений.
Здесь речь шла ещё о неверности одной формулы. Это необходимо исправить.
Слово "произведение" уточняется выражением $a*b$:
Было бы лучше в будущем отказаться от звёздочки и использовать
мультипликативную запись.
vedro-compota
Thu, 01/15/2015 - 14:26
Permalink
речь шла ещё о неверности
да, это я понял. Просто формулировака:
Как-то с места в карьер использует слово "произведение", предлагаю тогда так:
_____________
матфак вгу и остальная классика =)
math2
Thu, 01/15/2015 - 16:19
Permalink
Я говорю не о внешнем виде.
Я говорю не о внешнем виде.
Формула из первого пункта
ошибочна. Если следовать ей, то получится, что для конкретных двух выбранных элементов
$a,b\in X$ в качестве $a*b$ (результата применения операции) может быть взят произвольный элемент $c$ из $X$. Но по определению бинарной операции,
элемент $a*b$ определён однозначно (т.е. он единственный для конкретных $a$ и $b$).
Получается противоречие. Это необходимо как-нибудь исправить.
Я не говорю, что нужно писать именно то, что я тогда предложил. И слово "произведение" можно не использовать, конечно, а просто, например, сказать $a*b$ вместо произведение $a*b$.
Слово "произведение" я использовал для результата вычисления $a*b$ (операция уже произведена над $a$ и $b$).
Но я согласен, слово "произведение" ближе к мультипликативной записи.
Поэтому предлагаю изменить форму записи на мультипликативную:
обозначать операцию точкой ($\,\cdot\,$) или не обозначать вообще.
Операцию же называть произведением, я считаю, не нужно.
vedro-compota
Thu, 01/15/2015 - 17:03
Permalink
math2,
math2,
ок. аксиома 1 исправлена. По воможности проверьте.
_____________
матфак вгу и остальная классика =)
math2
Thu, 01/15/2015 - 22:57
Permalink
Теперь нормально.
Теперь нормально.
В четвёртом пункте пропущен звёздочка:
vedro-compota
Thu, 01/15/2015 - 23:04
Permalink
спасибо. звёздочку добавил)
спасибо. звёздочку добавил)
_____________
матфак вгу и остальная классика =)