Вычислительные задачи бывают прямые и косвенные.
Вот пример прямой задачи:
Сколько весит кусок сплава, на изготовление которого пошло $0,6$ дм$^3$ меди (уд. вес $8,9$ кг/дм$^3$) и $0,4$ дм$^3$ цинка (уд. вес $7,0$ кг/дм$^3$)?
При ее решении мы находим вес взятой меди ($8,9\cdot 0,6 = 5,34$ (кг)), затем вес цинка ($7,0\cdot 0,4 = 2,8$ (кг)) и, наконец, вес сплава ($5,34 + 2,8 = 8,14$ (кг)). Выполняемые действия и их последовательность диктуются самим условием задачи.
Определение отношения и пропорции см. Арифметика §48. Из пропорции $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$ вытекает $ad = cb$ (произведение средних членов равно произведению крайних); обратно, из $ad = bc$ вытекают пропорции:
$$\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}; \qquad \dfrac{a}{c} = \dfrac{b}{d}; \qquad \dfrac{d}{b} = \dfrac{c}{a} \quad \text{и др.}$$
Все эти пропорции можно получить из исходной $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$ с помощьью следующих правил:
Алгебраической дробью называется выражение вида $\dfrac{A}{B}$, где буквы $A$ и $B$ обозначают любые буквенные выражения, а черта между ними есть знак деления. Делимое $A$ называют числителем, делитель $B$ - знаменателем. Дроби, рассматриваемые в арифметике, представляют частный случай алгебраической дроби (числитель и знаменатель - целые положительные числа). Действия с алгебраическими дробями совершаются по тем же правилам, что действия с дробями в арифметике (см. Арифметика §§16-22).
Многочлен можно иногда представить в виде произведения двух или нескольких многочленов. Это возможно далеко не всегда, и в тех случаях, когда это возможно, найти требуемое разложение часто очень трудно. Практическое значение такого разложения состоит прежде всего в том, что оно часто позволяет упростить вид выражения (например, в том случае, когда в числителе и знаменателе дроби можно выделить одинаковые множители; примеры см. в следующем параграфе). Ниже перечислены простейшие случаи, когда разложение на множители выполняется.
Разность одинаковых степеней двух чисел делится (без остатка) на разность этих чисел, т. е. $x^m - a^m$ делится на $x - a$. Этот признак, как и следующие, вытекает из теоремы Безу (§10).
Частное состоит из членов и имеет следующий вид:
$$\dfrac{x^m - a^m}{x - a} = x^{m-1} + ax^{m-2} + a^2x^{m-3} + \dots + a^{m-1}$$
(показатели при $x$ непрестанно убывают на единицу; в то же время показатели при $a$ возрастают на единицу, так
что сумма показателей неизменно равна $m - 1$; все коэффициенты равны $+1$).
Если многочлен, содержащий букву $x$, делить на двучлен первой степени $x - l$, де $l$ – то в остатке может получиться только многочлен нулевой степени (§9), т.е. некоторое число $N$. Число $N$ можно отыскать, не находя частного. Именно, это число равно тому значения делимого, которое последнее получает при $x = l$.
Пример 1. Найти остаток от деления многочлена $x^3 - 3x^2 + 5x -1$ на $x - 2$. Подставляя $x = 2$ в данный многочлен, находим $N = 2^3 -3\cdot 2^2 + 5\cdot2 - 1 = 5$.
Частное от деления суммы двух или нескольких выражений на какое-либо выражение равно сумме частных, полученных от деления каждого слагаемого на взятое выражение:
$$\dfrac{a + b + c}{x} = \dfrac{a}{x} + \dfrac{b}{x} + \dfrac{c}{x};$$
$a, b, c, x $— любые выражения; если все они — одночлены, т.е. если выполняется деление многочлена на одночлен, то каждое из частных $\dfrac{a}{x}, \dfrac{b}{x}, \dfrac{c}{x}$ бывает возможно упростить (6
Следующие частные случаи умножения многочленов часто встречаются, и потому их полезно помнить. Особенно
важно научиться применять нижеприведённые формулы тогда, когда буквы $а, Ь$, входящие в них, заменяются более сложными выражениями (например, одночленами).
$1.$ $\mathbf{(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2}$. Квадрат суммы двух величии равен квадрату первой плюс удвоенное произведение первой на вторую плюс квадрат второй.
Произведение суммы двух или нескольких выражений на какое-либо выражение равно сумме произведений каждого из слагаемых на взятое выражение:
$$(a + b + c)x = ax + bx +cx \qquad \text{(открытие скобок)} $$
Вместо букв $a, b, c$ могут быть взяты любые выражения, в частности любые одночлены. Вместо буквы $x$ можно также взять любое выражение; если это выражение само представляет сумму накоторых слагаемых, например $m + n$, то имеем:
$$(a + b + c)(m + n) = a(m +n) + b(m +n) +c(m +n) = am + an + bn + cm + cn.$$
(переиспользовали параметр my_dir)
-- с данном случае для абсолютных и относительных путей (относительно корня сайта). Относительный путь удобно использовать отдельно напр. для формирования ссылок.
В принципе точно также мы обращаемся и к стандартному параметрту %kernel.project_dir% (корневая папка приложения).
