Алгебра - определение

Пусть $A$ — векторное пространство над полем $K$, снабженное операцией $A\times A\to A$, называемой ''умножением''. Тогда $A$ называют алгеброй над $K$, если для любых $x,y,z\in A, \; a,b\in K$ выполняются следующие свойства:
  1. $(x+y)\cdot z=x\cdot z+y\cdot z$
  2. $x\cdot (y+z)=x\cdot y+x\cdot z$
  3. $(ax)\cdot (by)=(ab)(x\cdot y)$

Эти три свойства можно выразить одним словом, сказав, что операция умножения является билинейной. В случае алгебр с единицей часто дают следующее эквивалентное определение:
: Алгебра с единицей над полем $K$ — это кольцо с единицей $A$, снабженное гомоморфизмом колец с единицей $f:K\to A$, таким, что $f(K)$ принадлежит центру кольца $A$ (то есть множеству элементов, коммутирующих по умножению со всеми остальными элементами). После этого можно считать, что $A$ является векторным пространством над $K$ со следующей операцией умножения на скаляр $\alpha\in K$: $\alpha x=f(\alpha)\cdot x.$

Источник: вики

Key Words for FKN + antitotal forum (CS VSU):